有限数学示例

$f (x) = \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ 写为等式。

$y = \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{y^{5}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{y^{5}} = x$ 。

$\frac{1}{y^{5}} = x$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y^{5}, 1$

解题步骤 3.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y^{5}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{y^{5}} = x$ 中的每一项乘以 $y^{5}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{1}{y^{5}} = x$ 中的每一项乘以 $y^{5}$ 。

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $y^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.2

重写表达式。

$1 = x y^{5}$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $x y^{5} = 1$ 。

$x y^{5} = 1$

解题步骤 3.4.2

将 $x y^{5} = 1$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $x y^{5} = 1$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y^{5}$ 除以 $1$ 。

$y^{5} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3.4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[5]{\frac{1}{x}}$

解题步骤 3.4.4

化简 $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$

解题步骤 3.4.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}}$

解题步骤 3.4.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ 。

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$

解题步骤 3.4.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ 。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

解题步骤 3.4.4.4.2

对 $\sqrt[5]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

解题步骤 3.4.4.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1 + 4}}$

解题步骤 3.4.4.4.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{5}}$

解题步骤 3.4.4.4.5

将 ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 3.4.4.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

解题步骤 3.4.4.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

解题步骤 3.4.4.4.5.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

解题步骤 3.4.4.4.5.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.4.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

解题步骤 3.4.4.4.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{1}}$

解题步骤 3.4.4.4.5.5

化简。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x}$

解题步骤 3.4.4.5

将 ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ 重写为 $\sqrt[5]{x^{4}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{\sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}}}{\frac{1}{x^{5}}}$

解题步骤 5.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}} x^{5}$

解题步骤 5.2.4

对 $\frac{1}{x^{5}}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{4}}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

解题步骤 5.2.5

一的任意次幂都为一。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

解题步骤 5.2.6

将 ${(x^{5})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{5 \cdot 4}}} x^{5}$

解题步骤 5.2.6.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{20}}} x^{5}$

解题步骤 5.2.7

将 $1$ 重写为 $1^{5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{x^{20}}} x^{5}$

解题步骤 5.2.8

将 $x^{20}$ 重写为 ${(x^{4})}^{5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}} x^{5}$

解题步骤 5.2.9

将 $\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x^{4}})}^{5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{4}})}^{5}} x^{5}$

解题步骤 5.2.10

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot x^{5}$

解题步骤 5.2.11

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.11.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

解题步骤 5.2.11.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

解题步骤 5.2.11.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})}^{5}}$

解题步骤 5.3.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.3.1

对 $\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}}{x^{5}}}$

解题步骤 5.3.3.2

将 ${\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}$ 重写为 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x^{4}}$ 重写成 $x^{\frac{4}{5}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{(x^{\frac{4}{5}})}^{5}}{x^{5}}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{5} \cdot 5}}{x^{5}}}$

解题步骤 5.3.3.2.3

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $5$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4 \cdot 5}{5}}}{x^{5}}}$

解题步骤 5.3.3.2.4

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{20}{5}}}{x^{5}}}$

解题步骤 5.3.3.2.5

约去 $20$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.5.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5}}}{x^{5}}}$

解题步骤 5.3.3.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.5.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 (1)}}}{x^{5}}}$

解题步骤 5.3.3.2.5.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1}}}{x^{5}}}$

解题步骤 5.3.3.2.5.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{1}}}{x^{5}}}$

解题步骤 5.3.3.2.5.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4}}{x^{5}}}$

解题步骤 5.3.3.3

约去 $x^{4}$ 和 $x^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1

乘以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{5}}}$

解题步骤 5.3.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.2.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

解题步骤 5.3.3.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

解题步骤 5.3.3.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 5.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = 1 x$

解题步骤 5.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ 为 $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

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